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By Günter Meinardus

ISBN-10: 3642856462

ISBN-13: 9783642856464

ISBN-10: 3642856470

ISBN-13: 9783642856471

Erst in den letzten Jahren hat sich derjenige inform der Approximations theorie, der sich auf numerische Fragestellungen anwenden liiBt, starker entwickelt. Das Prinzip der in einem gewissen Sinne besten Anniiherung von Funktionen gewann insbesondere durch die Verwendung elektro nischer Rechenmaschinen an Bedeutung. Einige der theoretischen Grundlagen, die zur Behandlung der auftretenden Probleme herange zogen werden mussen, finden sich verstreut in wenigen Buchern. Der weitaus gr6Bte Teil der theoretischen und praktischen Untersuchungen ist jedoch nur in den Originalarbeiten nachzulesen. Hieraus ergab sich die Zielsetzung des vorliegenden Buches: Es sollte eine Zusammen stellung der wesentlichen Ergebnisse der Approximationstheorie gegeben werden, die einerseits ein rasches Eindringen in die modernen Entwick lungen dieses Gebietes ermoglicht und andererseits eine gewisse Voll stiindigkeit auf dem Problemkreis der Tschebyscheff-Approximationen bietet, womit keineswegs gemeint ist, daB eine vollstiindige Literatur ubersicht angestrebt wurde. Die Auswahl erfolgte stets nach dem immer noch subjektiven Gesichtspunkt der Bedeutung fiir die Anwendungen. Dies gilt z. B. auch fur die asymptotischen Untersuchungen des three, denn ich bin der Meinung, daB guy sich auch beinumerischen Approximationen uber die, wenigstens asymptotisch zu erwartende Genauigkeit Gedanken machen sollte. speedy ausschlieBlich habe ich mich auf die Theorie der gleich miiBigen Approximation beschriinkt, da diese die weitaus groBte prak tische Bedeutung besitzt. Das erste Kapitel behandelt lineare Approximationen. Der three ent hiilt wohl den heute kiirzesten Zugang zur linearen Theorie.

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1. ACHIESER [lJ, S. 50) zum Ziel. Die Lasung liiBt sich mit Hilfe elliptischer Funktionen darstellen. S. PASZKOWSKI [lJ gewinnt die Solotareff-Polynome auf dem Weg fiber algebraische Differentialgleichungen ffir die Alternantenpunkte. 1 wurde erwiihnt, daB die Funktionen Sn(x), also bei Polynomen die Polynome Tn (x) eine erste Annaherung an eine Minimallasung einer entwickelbaren Funktion liefern konnen. Besitzt man von einer Funktion f(x) nun sogar eine Potenzreihe mit hinreichend groBem Konvergenzradius f(x) = 00 L.

L1(n») -n und +" J un(t) dt=:rc, -n wie schon Ofter benutzt. 21). 5. Die Satze von D. JACKSON. lin) m6glichst nahe bei 1 liegt. ) Dann ist es auch m6g1ich, die Zahll5 klein zu wahlen. Hierzu setzen wir n n+2 ~=cos--. Der Ausdruck (1 - ;2) (Tn+z(x) - Tn+z(;)) (2n + 4) (x _ ;)2 ist ein Polynom vom Grade n in x und wegen Tn+2(~) =-1 ITn+2(x)l:-:;;: 1 und fiir Ixl ~ 1 nicht-negativ. 19) genugt, und zwar ist Il(n) = cos _n_ . 0::1 n +2 52 § 5. Abschatzung der GroBenordnung des Fehlers Es bezeichne nun a!

1 P. u. (x) 24 § 3. , k). Nach Voraussetzung 2 muB also ex. =/39 sein fUr 'V = 1, 2, ... , n. Gibt es nun keinen Punkt XE B - B der obigen Art, so besitzt die MinimallOsung i(rpl+rp2) in B - jj keine Extremalpunkte. Man braucht bei der Approximation also nur die Menge B zu betrachten. Dort ergibt sich die Eindeutigkeit nach Voraussetzung 3 aus dem Haarschen Eindeutigkeitssatz 19. Hiermit sind die Satze 24 und 25 beWiesen. Es solI noch ein kleines Beispiel zu Satz 25 gegeben werden. Fur k = 1; sei B das reelle Intervall -1 ~ x~ 1, und ferner sei Ur (x) = x, u 2 {x)=4x 2 -1.

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Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung by Günter Meinardus


by Daniel
4.3

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